この発表をあなたはどう聞くか
- 数学者：「応用圏論」が成立しうるのか見極める
- エンジニア：プログラムと圏論の関係，特に安全性検証の原理，を知る
- 人文学者：表：圏論の思想を知る．裏：数学者が既存のゲームを解体する様子を分析し，可能なら助ける(歴史とか，サピア・ウォーフとか，構造主義とか，現象学とか)
- 数学lover：パズルをとく
- 圏論専門家：たまに助け舟を出す．(いつもありがとうございます)
話の前提 · 圏論が流行ってる？
圏論が流行ってる？（2/4）：東京
第3回全体集会 2026年11月2–4日 申し込み受付中！
話の前提 · 圏論が流行ってる？
圏論が流行ってる？（4/4）：研究費
2026 年度に進行中の「圏論的」な研究費：数学（代数学・幾何学・数学基礎）が （50 件の 3/4）．
残る 13 件，数学以外から：
| 区分 | 研究課題 | 代表者（機関） | 年度 |
|---|---|---|---|
| 代数・幾何 | 圏論的Donaldson-Thomas理論の開拓と周辺領域の相互発展 | 戸田 幸伸（東京大学） | 2024–2028 |
| 代数・幾何 | Langlands | 対応の圏化に関する多角的研究 | 今井 直毅（東京大学） | 2022–2026 |
| 代数学 | 連接層の導来圏の構造論 | 平野 雄貴（東京農工大学） | 2026–2028 |
| 代数学 | 一般化ルート系とHurwitz空間のミラー対称性 | 高橋 篤史（大阪大学） | 2025–2027 |
| 代数学 | 振動子表現の量子アフィン化と関連する量子群の表現論の研究 | 尾角 正人（大阪公立大学） | 2025–2029 |
| 代数学 | 箙Heisenberg代数とbypath代数の表現論とその応用の研究 | 源 泰幸（大阪公立大学） | 2025–2027 |
| 代数学 | 組合せ論的可換代数への圏論的アプローチの深化 | 柳川 浩二（関西大学） | 2025–2028 |
| 代数学 | 線形圏の双圏論的被覆理論と持続加群の区間加群による近似理論 | 浅芝 秀人（大阪公立大学） | 2025–2029 |
| 代数学 | 圏論的マッカイ対応の研究 | 石井 亮（名古屋大学） | 2025–2029 |
| 代数学 | 非可換代数幾何学の諸研究 | 大川 新之介（大阪大学） | 2025–2029 |
| 代数学 | 局所志村多様体を通した古典群の局所ラングランズ対応の深化 | 三枝 洋一（東京大学） | 2025–2029 |
| 代数学 | 完全圏と三角圏を包括する高次のホモロジー代数の応用面からの発展 | 中岡 宏行（琉球大学） | 2025–2027 |
| 代数学 | 代数理論の相対化による圏論的普遍代数学の新展開 | 河瀬 悠人（京都大学） | 2024–2026 |
| 代数学 | 志村多様体の整モデルの構成およびコホモロジーの消滅について | 高谷 悠太（東京大学） | 2024–2026 |
| 代数学 | 高次圏論への２つのアプローチ：幾何的な積と代数高次圏 | 前原 悠究（京都大学） | 2024–2026 |
| 代数学 | 平坦余ねじれ加群の分類と環のスペクトラム理論 | 神田 遼（大阪公立大学） | 2024–2026 |
| 代数学 | ホップ代数的アプローチによる中山関手の研究とテンソル圏への応用 | 清水 健一（芝浦工業大学） | 2024–2027 |
| 代数学 | 非可換代数幾何学とホッホシルトコホモロジー論におけるコシュールAS正則環の研究 | 板場 綾子（東京理科大学） | 2024–2028 |
| 代数学 | 高次圏・豊穣圏的視点からの、完全圏と三角圏を包括する統一的ホモロジー代数の発展 | 中岡 宏行（名古屋大学） | 2024–2026 |
| 代数学 | 圏論的性質に着目した準遺伝多元環の構成 | 塚本 真由（山口大学） | 2023–2026 |
| 代数学 | ダイナミカル・リフレクション写像と関連する代数の研究 | 澁川 陽一（北海道大学） | 2023–2026 |
| 幾何学 | 多様体の不変量としての写像空間の、分解ホモロジーを用いた研究 | 荒川 研資（京都大学） | 2024–2026 |
| 幾何学 | ヤコビ図の空間の研究と自由群のIA-自己同型群の安定コホモロジー群の研究 | 片田 舞（九州大学） | 2024–2028 |
| 幾何学 | 正則アノマリー方程式とモジュライ空間の幾何学 | 細野 忍（学習院大学） | 2024–2027 |
| 幾何学 | ホモトピー論・場の理論・テンソルネットワークの三位一体 | 山下 真由子（京都大学） | 2024–2028 |
| 幾何学 | 拡大ワイル群の不変式論と原始形式・フロベニウス構造 | 白石 勇貴（大阪大学） | 2023–2027 |
| 幾何学 | 量子スピン系の代数トポロジー | 窪田 陽介（京都大学） | 2022–2026 |
| 幾何学 | ミラー対称性の幾何学 | 金沢 篤（早稲田大学） | 2022–2026 |
| 数学基礎 | 圏論的論理学に基づく対象理論とメタ理論の関係構造の分析 | 池田 侑登（東京大学） | 2026–2028 |
| 数学基礎 | 二重圏による圏論的モデル理論の研究 | 荒武 永史（小山工業高等専門学校） | 2026–2030 |
| 数学基礎 | 計算論と集合論の中間トポス構造と内部数学 | 木原 貴行（名古屋大学） | 2026–2028 |
| 数学基礎 | 二重圏論による圏論的論理学の発展 | 奈須 隼大（京都大学） | 2025–2027 |
| 数学基礎 | 計算体系の拡張とその圏論的意味論 | 金 相佑（東京大学） | 2025–2027 |
| 数学基礎 | トポス化できる代数の境界探索による圏論的論理学の拡張 | 中田 哲（名古屋大学） | 2025–2027 |
| 数学基礎 | パーシステントホモロジーのプログラミング意味論としての特徴付け | 吉田 純（国立研究開発法人理化学研究所） | 2025–2029 |
| 数学基礎 | ToposのQuotientの分類 | 洞 龍弥（東京大学） | 2024–2026 |
| 解析・応用 | 作用素環と因子化代数 | 河東 泰之（東京大学） | 2024–2026 |
KAKEN「圏論的」交付済み 85 件のうち 2026 年度に進行中で審査区分が数学のもの（2026-09-04 取得）．
| 分野 | 研究課題（進行中の研究費） | 代表者（機関） |
|---|---|---|
| 物理（素粒子） | 圏論的対称性の数学的枠組みの解明と物理学への応用 | Justin Kaidi（九大） |
| 物理（量子情報） | 関数型プログラミングと圏論的方法を用いた量子アルゴリズムの設計 | 村尾美緒（東大） |
| 情報（プログラム解析） | 抽象解釈における圏論的構造とその応用 | 勝股審也（京都産業大） |
| 情報（システム検証） | 情報技術への社会的信頼を樹立するソフトウェア研究ネットワーク（JST ASPIRE，2024–2029） | 蓮尾一郎（NII） |
| 言語学 | 依存型意味論による自然言語の意味の研究とその自動検証 | 戸次大介（お茶大） |
| AI・機械学習 | 圏論的双対性理論の人工知能・機械学習応用 | 丸山善宏（名大 → 京大） |
| ファイナンス | 圏論的確率論を用いた不確実性の階層の研究とファイナンスへの応用 | 足立高徳（都立大） |
| 哲学 | 因果概念の数理的・哲学的統合 | 大塚淳（京大） |
話の前提 · 圏論の有用性
余談：どのくらい実態があるの？怪しいんじゃね?
A. partially 否めない
「圏論」はあまりに多面的で，人によって指すものがバラバラ．
- 数学理論としての圏論
- 思考様式としての圏論
私たちは当時圏論を，さらなる研究の場とは考えていなかった．ただ一つの言語であり，方向づけだと思っていた．この限界を，私たちは十数年ほど引きずった．随伴関手が現れるまでは．
— S. Mac Lane, Concepts and Categories in Perspective (1988) [14]（引用者訳）
話の前提 · 圏論の有用性
圏論の抗えぬ有用性
圏論の有用性は一つではない
- 定義の言語：数学的対象の「同一性」「自然さ」を定式化する共通語
- 証明の道具：代数幾何学の革新，独立性証明の topos 解釈
- 思考様式：「関係性で物事を捉える」（構造主義，哲学・認知科学へ）
- 構造的モデル（cf. Spivak）：プログラミング言語の意味論，システムの安全性検証，数理物理
今日は，そのうち「道具っぽさ」がわかりやすい一例として，「不変量から関手へ」という視点を紹介する．
「道具っぽさ」vs「思考様式」：道具 → 思考の順にしか語れない（逆は厳しい）．
話の前提 · 今日の予告
内容の予告
- Section 2：操作を量で制御する（不可能性パズルを解く）
- 「できない」ことを示すには，操作で変わらない量を見つければよい．
- Section 3：不変量理論としての圏論入門1
- スローガンは「関手で，不可能性を示す」 操作関手量
- Section 4：対談（夢バトル）
結果として，応用されるのは
「この仮定のもとで，システムの破綻は起こらない」ことの証明
1 数学的内容は，圏論の最初の教科書の最初の章の最初の 3 節くらい：入門書 Category Theory in Context [15]（日本語訳 『結びつく圏論』，丸善出版，2026年11月 [6] が出ます！）の 1.1–1.3（圏・双対性・関手）を気持ちだけ．
操作を量で制御する · 不変量でパズルを解く
初等的で自明な例：置き換えただけの同じもの？
辺の個数 = 6
置き換え（回す・動かす）
?×
≠
辺の個数 = 7
A. いいえ．辺の個数が違う ⇒ 置き換える操作は存在しない！
Sol LeWitt, Incomplete Open Cubes (1974) [13] の発想による．
操作を量で制御する · 不変量でパズルを解く
現代的で非自明な例：球面とトーラスは同相か？
オイラー標数
連続変形（同相写像）
?×
≠
オイラー標数
A. オイラー標数が違う ⇒ 連続変形は存在しない！
操作を量で制御する · 変化を制御してパズルを解く
不変量から，変化の制御へ
「変わらない量」だけでなく，「おとなしく変わる量」も扱う．
不変量
操作?
=
⇒ 操作は存在しない
変化の制御
操作?
⇒ 操作は存在しない
操作を量で制御する · 変化を制御してパズルを解く
初等的で自明な例：キングは 3 手で 5 マス先に行けるか？
距離 + 手数 = 5 + 0
1 手ずつ動かす（3 手）
?×
≰
距離 + 手数 = 0 + 3
A. 距離＋手数は減らない（1 手で距離は高々 1 減る）
⇒ 3 手で届く動かし方は存在しない！
⇒ 3 手で届く動かし方は存在しない！
操作を量で制御する · 変化を制御してパズルを解く
初等的で非自明な例：9 枚で盤を埋め尽くせるか？
コインの領域の周長 = 36
隣（上下左右）に 2 枚以上あるマスへ置く
?×
≱
周長 = 40
A. 周長は増えない（置くたび 0, 2, 4 減る）
⇒ 埋め尽くす置き方は存在しない！
⇒ 埋め尽くす置き方は存在しない！
操作を量で制御する · 変化を制御してパズルを解く
現代的で非自明な例：円板を縁に押し戻せるか？
基本群
縁を動かさない連続写像
?×
≠
基本群
A. は恒等になれない ⇒
縁を動かさない は存在しない！（⇒ ブラウアーの不動点定理）
縁を動かさない は存在しない！（⇒ ブラウアーの不動点定理）
に不動点が無ければ， から へ伸ばした半直線が に当たる点を とすると， は縁を動かさない連続写像になる．
操作を量で制御する · 2 章のまとめ
まとめ：操作と量
操作不変量量
計算するために，関手で情報を捨てる
不変量理論としての圏論入門 · 圏の定義
圏の定義
圏は，「操作の代数」と「量の変化」の共通の一般化である．
定義（圏）
圏とは，2つのデータ・2つの演算・2つの条件からなるもの．
- データ
- 対象 の集まり；射 の集まり
- 演算
- 恒等射: 対象 ごとに ；
合成: ごとに
- 条件
- 単位律 ，；
結合律
群の一般化
射の姿：「操作の一般化」
射の姿：「操作の一般化」
前順序の一般化
射の姿：「関係の一般化」
射の姿：「関係の一般化」
数学の分野
射の姿：「構造を保つ写像」
射の姿：「構造を保つ写像」
不変量理論としての圏論入門 · 圏の定義
操作の代数の例：ルービックキューブの圏
ルービックキューブの圏
| 対象 | 状態（壊れたのも） |
| 射 | 回す（の列），壊す |
| 恒等射 | そのまま |
| 合成 | 操作の連結 |
揃った状態
不変量理論としての圏論入門 · 圏の定義
量の変化の例：前順序
前順序の圏
| 対象 | 量 |
| 射 | 関係 （増える） |
| 恒等射 | |
| 合成 |
不変量理論としての圏論入門 · 関手の定義
関手の定義
関手は，「操作の代数」と「量の変化」を結びつける対応である．
定義（関手）
圏 から圏 への関手 とは，
- の対象 に の対象 を
- の射 に の射
操作の合成にともなう量の変化を追える
不変量理論としての圏論入門 · 関手の定義
関手で，不可能性を示す
関手で，不可能性を示す：対偶をとる
操作側の性質 ⇒ 量側の性質，の対偶をとる．
- （同型 ⇒ 同型）
- が split ⇒ が split
- 一般に： satisfies ⇒ satisfies “”
不変量理論としての圏論入門 · 関手の定義
例：2 章のパズルを，関手で読み直す
| パズル | 操作の圏 | 関手 | 量の圏 |
|---|---|---|---|
| 置き換え（LeWitt） | cube と回す・動かす | 辺の個数 | |
| 15 パズル | 配置と滑らせ | （＋空きマスの色） | |
| 球面とトーラス | （連続変形） | オイラー標数 ，ホモロジー | ， |
| キング | 配置と 1 手 | 距離 + 手数 | |
| 感染パズル | 配置とコインを置く | 領域の周長 | |
| 円板と円（Brouwer） | （連続写像） | 基本群 |
不変量理論としての圏論入門 · 関手的意味論
関手的意味論（functorial semantics）
操作の圏から量の圏への関手を作る．（Lawvere の関手的意味論 [12]）
| 関手 | 操作の圏 | 量の圏 |
|---|---|---|
| プログラミング言語の意味論 | プログラムの圏 | , domain |
| 圏論的意味論 | 証明の圏 | 意味の圏 （e.g. Cohen forcing） |
| TQFT | 多様体の切り貼り |
夢バトル · 問題提起
問題提起：原理は見えた．現実は？
- 有用性の一つの原理を見た．
操作関手量 ――「関手で，不可能性を示す」⇒「この仮定のもとで，システムの破綻は起こらない」の保証． - けど，現実で本当に役立っているの？
- Kory さんとの議題へ．
夢バトル · Kory さんとの議題
Kory さんとの議題
- 圏論は本当にエンジニアリングの役に立っているのか？
- Physical AI，AI 数学者，AI for Math は圏論の言葉を使うのか？
例：Topos Institute（Spivak ら，応用圏論の研究所），Kodamai（Glasgow，2026：圏論＋型理論で AI agent を provably correct に [10]） - 圏論は我々の認知構造にどの程度依存しているのか？
- 数学の言語は，思考をどの程度規定しているのか？
- Continuous → Discrete：連続的な対象が離散的になるという現象
対談相手：Kory さん
参考文献
- Aaron F. Archer. A modern treatment of the 15 puzzle. The American Mathematical Monthly, 106(9):793–799, 1999. doi:10.2307/2589612.
- Bartosz Milewski. プログラマーのための圏論. オーム社, 2026. 北川雅裕訳，松田一孝監訳. ISBN 978-4-274-23486-6.
- Brendan Fong and David I. Spivak. 活躍する圏論：具体例からのアプローチ. 共立出版, 2023. 川辺治之訳. ISBN 978-4-320-11484-5. https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10025461.html.
- Categories in Tokyo. 第3回全体集会（2026年11月2–4日）. https://categories.tokyo/meetings/3.html, 2026.
- David I. Spivak. みんなの圏論：演習中心アプローチ. 共立出版, 2021. 川辺治之訳. ISBN 978-4-320-11454-8.
- Emily Riehl. 結びつく圏論. 丸善出版, 2026. 前原悠究訳. 2026年11月刊行予定. ISBN 978-4-621-31337-4. https://www.hanmoto.com/bd/isbn/9784621313374.
- Ryuya Hora. Internal parameterization of hyperconnected quotients. Theory and Applications of Categories, 42(11):263–313, 2024. http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html.
- Wm. Woolsey Johnson and William E. Story. Notes on the “15” puzzle. American Journal of Mathematics, 2(4):397–404, 1879.
- Peter T. Johnstone. Remarks on local state classifiers. Talk at the TopOx seminar (Topos Institute / University of Oxford), 13 May 2025. https://topos.institute/events/topox/, 2025.
- Kodamai Limited. Kodamai solves enterprise AI’s hardest problem: Making autonomous agents provably correct at scale. Press release, BusinessWire, 13 April 2026. https://www.businesswire.com/news/home/20260413955417/en/, 2026.
- Klaas Landsman. Foundations of Quantum Theory: From Classical Concepts to Operator Algebras, volume 188 of Fundamental Theories of Physics. Springer, 2017. Open Access (CC BY 4.0). doi:10.1007/978-3-319-51777-3.
- F. William Lawvere. Functorial Semantics of Algebraic Theories. PhD thesis, Columbia University, 1963. Reprinted as TAC Reprints No. 5. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html.
- Sol LeWitt. Incomplete open cubes. Artwork. SFMOMA collection: https://www.sfmoma.org/artwork/97.516.A-KKKKKKKKKK/, 1974.
- Saunders Mac Lane. Concepts and categories in perspective. In Peter Duren, editor, A Century of Mathematics in America, Part I, pages 323–365. American Mathematical Society, 1988. https://bookstore.ams.org/hmath-1.
- Emily Riehl. Category Theory in Context. Aurora: Dover Modern Math Originals. Dover Publications, 2016. 著者ページで無料PDF配布. https://emilyriehl.github.io/books/.
- Patrick Schultz and David I. Spivak. Temporal Type Theory: A Topos-Theoretic Approach to Systems and Behavior, volume 29 of Progress in Computer Science and Applied Logic. Birkhäuser, 2019. doi:10.1007/978-3-030-00704-1.
- 加藤文元. はじめての圏論：ブンゲン先生の現代数学入門. 講談社ブルーバックス. 講談社, 2025. ISBN 978-4-06-541398-2. https://www.kodansha.co.jp/book/products/0000420166.
- 圏論の歩き方委員会. 圏論の歩き方［改訂版］. 日本評論社, 2025. ISBN 978-4-535-79035-3.
- 雪田修一. 圏論入門：Haskellで計算する具体例から. 日本評論社, 2020. ISBN 978-4-535-78925-8.
